Respuesta :

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Answer:

[tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{2} + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Derivative Property [Multiplied Constant]:                                                           [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \cdot f'(x)[/tex]

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                 [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]

Integration

  • Integrals
  • [Indefinite Integrals] Integration Constant C

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

  • U-Solve

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

  1. [Integrand] Rewrite:                                                                                       [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \int {\frac{6e^\big{arctan(3e^{4x}) + 4x}}{1 + 9e^\big{8x}}} \, dx[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = 6\int {\frac{e^\big{arctan(3e^{4x}) + 4x}}{1 + 9e^\big{8x}}} \, dx[/tex]

Step 3: integrate Pt. 2

Set variables for u-substitution.

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = 4x[/tex]
  2. [u] Differentiate [Basic Power Rule, Multiplied Constant]:                         [tex]\displaystyle du = 4 \ dx[/tex]

Step 4: Integrate Pt. 3

  1. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{3}{2}\int {\frac{4e^\big{arctan(3e^{4x}) + 4x}}{1 + 9e^\big{8x}}} \, dx[/tex]
  2. [Integral] U-Substitution:                                                                               [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{3}{2}\int {\frac{e^\big{arctan(3e^u) + u}}{1 + 9e^\big{2u}}} \, du[/tex]

Step 5: Integrate Pt. 4

Set variables for u-substitution #2.

  1. Set v:                                                                                                               [tex]\displaystyle v = 9e^{2u} + 1[/tex]
  2. [v] Differentiate [Exponential Differentiation, Chain Rule]:                       [tex]\displaystyle dv = 18e^{2u} \ du[/tex]
  3. [v] U-Solve:                                                                                                    [tex]\displaystyle u = ln \Big( \frac{\sqrt{v - 1}}{3} \Big)[/tex]
  4. [dv] U-Solve:                                                                                                   [tex]\displaystyle du = \frac{e^{-2u}}{18} \ dv[/tex]
  5. [U-Solve] Rewrite u:                                                                                       [tex]\displaystyle e^u = \frac{\sqrt{v - 1}}{3}[/tex]

Step 6: Integrate Pt. 5

  1. [Integral] U-Solve:                                                                                              [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{3}{2}\int {\frac{e^\big{arctan(3(\frac{\sqrt{v - 1}}{3})) + ln(\frac{\sqrt{v - 1}}{3})}}{1 + 9(\frac{\sqrt{v - 1}}{3})^2} \frac{1}{18e^{2u}}\, dv[/tex]
  2. [Integral] Simplify:                                                                                              [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{3}{2}\int {\frac{\sqrt{v - 1}e^\big{arctan(\sqrt{v - 1})}}{3[1 + v - 1]} \frac{1}{18(\frac{\sqrt{v - 1}}{3})^2}\, dv[/tex]
  3. [Integral] Simplify:                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{3}{2}\int {\frac{\sqrt{v - 1}e^\big{arctan(\sqrt{v - 1})}}{3v} \frac{1}{2(v - 1)}\, dv[/tex]
  4. [Integral] Simplify:                                                                                         [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{3}{2}\int {\frac{e^\big{arctan(\sqrt{v - 1})}}{6v\sqrt{v - 1}} \, dv[/tex]
  5. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {\bigg( 6e^\big{4x} \cdot \frac{e^\big{arctan(3e^{4x})}}{1 + 9e^\big{8x}} \bigg)} \, dx = \frac{1}{4}\int {\frac{e^\big{arctan(\sqrt{v - 1})}}{v\sqrt{v - 1}} \, dv[/tex]

Step 7: Integrate Pt. 6

Set variables for u-substitution #3.

  1. Set z:                                                                                                               [tex]\displaystyle z = arctan(\sqrt{v - 1})[/tex]
  2. [z] Differentiate [Arctrig Differentiation, Chain Rule]:                                 [tex]\displaystyle dz = \frac{1}{2v\sqrt{v - 1}} \ dv[/tex]

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