Using the square-and-multiply approach, we have
[tex]7^{203}=7\times(7^{101})^2[/tex]
[tex]7^{101}=7\times(7^{50})^2[/tex]
[tex]7^{50}=(7^{25})^2[/tex]
[tex]7^{25}=7\times(7^{12})^2[/tex]
[tex]7^{12}=(7^6)^2[/tex]
[tex]7^6=(7^3)^2[/tex]
[tex]7^3=7\times7^2[/tex]
and so, using the property that, if [tex]a_1\equiv b_1\mod n[/tex] and [tex]a_2\equiv b_2\mod n[/tex], then [tex]a_1a_2\equiv b_1b_2\mod n[/tex], we get
[tex]7\equiv3\mod4[/tex]
[tex]7^2\equiv9\equiv1\mod4[/tex]
[tex]7^3\equiv7\times1\equiv7\equiv3\mod4[/tex]
[tex]7^6\equiv9\equiv1\mod4[/tex]
[tex]7^{12}\equiv1\mod4[/tex]
[tex]7^{25}\equiv7\times1\equiv7\equiv3\mod4[/tex]
[tex]7^{50}\equiv9\equiv1\mod4[/tex]
[tex]7^{101}\equiv7\times1\equiv7\equiv3\mod4[/tex]
[tex]7^{203}\equiv7\times9\equiv3\times1\equiv3\mod4[/tex]
