a) El volumen de la caja en función de su longitud es:
[tex]V_{caja}=\frac{x^{3}}{16}-\frac{25x^{2}}{2}+625x[/tex]
b) El dominio de la ecuación del volumen son todos los números reales.
c) Las dimensiones del paquete con el mayor volumen posible son:
longitud de la caja x = 30 plg
lado de la sección transversal L = 17.5 plg
a)
Definamos x como la longitud de la caja y L como el lado de la sección transversal, que es cuadrada para este caso.
Sabemos que la suma de su longitud (x) y el perímetro de la sección transversal (P = 4L) es igual a 100 plg.
[tex]x+4L=100[/tex] (1)
Ahora, el volumen de esta caja rectangular está dada por:
[tex]V_{caja}=A_{base}*x[/tex]
[tex]V_{caja}=L^{2}*x[/tex] (2)
Pero necesitamos expresar el volumen en función de x.
Despejamos L de la ecuación (1) y remplazarlo en (2).
Por lo tanto el volumen en función de x será.
[tex]V_{caja}=(\frac{100-x}{4})^{2}*x[/tex]
[tex]V_{caja}=\frac{x^{3}}{16}-\frac{25x^{2}}{2}+625x[/tex]
b)
Al ser la función un polinomio de orden 3 el dominio de esta función son todos los numeros reales.
c)
Observando la gráfica de esta función, podemos ver que para un valor aproxiamdo de x = 30 plg el valor de V tiene un punto de inflección, es por definición de maximización de una función que podemos usar ese punto para encontrar las dimensiones de la caja.
Por lo tanto si x = 30 plg el valor de L usando la ecuacion (1) sera:
[tex]L=\frac{100-x}{4}[/tex]
[tex]L=\frac{100-30}{4}=17.5\: plg[/tex]
Por lo tanto la máxima dimensión de la caja es:
x = 30 plg
L = 17.5 plg
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