Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle y' = 2(2x - 5)(x^5 - 5)(12x^5 - 25x^4 - 10)[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

  1. Brackets
  2. Parenthesis
  3. Exponents
  4. Multiplication
  5. Division
  6. Addition
  7. Subtraction
  • Left to Right

Distributive Property

Algebra I

  • Terms/Coefficients
  • Factoring

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Derivative of a constant is 0

Basic Power Rule:

  • f(x) = cxⁿ
  • f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Derivative Rule [Product Rule]:                                                                                [tex]\displaystyle \frac{d}{dx} [f(x)g(x)]=f'(x)g(x) + g'(x)f(x)[/tex]

Derivative Rule [Chain Rule]:                                                                                    [tex]\displaystyle \frac{d}{dx}[f(g(x))] =f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

y = (2x - 5)²(5 - x⁵)²

Step 2: Differentiate

  1. Derivative Rule [Product Rule]:                                                                        [tex]\displaystyle y' = \frac{d}{dx}[(2x - 5)^2](5 - x^5)^2 + (2x - 5)^2\frac{d}{dx}[(5 - x^5)^2][/tex]
  2. Chain Rule [Basic Power Rule]:                                                                       [tex]\displaystyle y' = [2(2x - 5)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}[2x]](5 - x^5)^2 + (2x - 5)^2[2(5 - x^5)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}[-x^5]][/tex]
  3. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle y' = [2(2x - 5) \cdot \frac{d}{dx}[2x]](5 - x^5)^2 + (2x - 5)^2[2(5 - x^5) \cdot \frac{d}{dx}[-x^5]][/tex]
  4. Basic Power Rule:                                                                                             [tex]\displaystyle y' = [2(2x - 5) \cdot 1(2x^{1 - 1})](5 - x^5)^2 + (2x - 5)^2[2(5 - x^5) \cdot -5x^{5 - 1}][/tex]
  5. Simplify:                                                                                                              [tex]\displaystyle y' = [2(2x - 5) \cdot 2](5 - x^5)^2 + (2x - 5)^2[2(5 - x^5) \cdot -5x^4][/tex]
  6. Multiply:                                                                                                             [tex]\displaystyle y' = 4(2x - 5)(5 - x^5)^2 - 10x^4(2x - 5)^2(5 - x^5)[/tex]
  7. Factor:                                                                                                               [tex]\displaystyle y' = 2(2x - 5)(5 - x^5)[2(5 - x^5) - 5x^4(2x - 5)][/tex]
  8. [Distributive Property] Distribute 2:                                                                 [tex]\displaystyle y' = 2(2x - 5)(5 - x^5)[10 - 2x^5 - 5x^4(2x - 5)][/tex]
  9. [Distributive Property] Distribute 5x⁴:                                                             [tex]\displaystyle y' = 2(2x - 5)(5 - x^5)[10 - 2x^5 - 10x^5 + 25x^4][/tex]
  10. [Addition] Combine like terms (x⁵):                                                                  [tex]\displaystyle y' = 2(2x - 5)(5 - x^5)(10 - 12x^5 + 25x^4)[/tex]
  11. Rewrite:                                                                                                             [tex]\displaystyle y' = 2(2x - 5)(x^5 - 5)(12x^5 - 25x^4 - 10)[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Derivatives

Book: College Calculus 10e

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