Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle y(2) = e^3[/tex]

General Formulas and Concepts:

Pre-Algebra

Order of Operations: BPEMDAS

  1. Brackets
  2. Parenthesis
  3. Exponents
  4. Multiplication
  5. Division
  6. Addition
  7. Subtraction
  • Left to Right

Equality Properties

Algebra I

  • Functions
  • Function Notation
  • Exponential Rule [Multiplying]:                                                                        [tex]\displaystyle b^m \cdot b^n = b^{m + n}[/tex]

Algebra II

  • Natural Logarithms ln and Euler's number e

Calculus

Derivatives

Derivative Notation

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Slope Fields

  • Separation of Variables
  • Solving Differentials

Integrals

  • Antiderivatives

Integration Constant C

Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                                                  [tex]\displaystyle \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C[/tex]

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                             [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                           [tex]\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx[/tex]

Logarithmic Integration:                                                                                            [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{u}} \, dx = ln|u| + C[/tex]

Explanation:

*Note:    

When solving differential equations in slope fields, disregard the integration constant C for variable y.

Step 1: Define

[tex]\displaystyle \frac{dy}{dx} = (2x - 1)y[/tex]

[tex]\displaystyle y(1) = e[/tex]

Step 2: Rewrite

Separation of Variables. Get differential equation to a form where we can integrate both sides and rewrite Leibniz Notation.

  1. [Separation of Variables] Rewrite Leibniz Notation:                                      [tex]\displaystyle dy = (2x - 1)y \ dx[/tex]
  2. [Separation of Variables] Isolate y's together:                                               [tex]\displaystyle \frac{1}{y} \ dy = (2x - 1) \ dx[/tex]

Step 3: Find General Solution

  1. [Differential] Integrate both sides:                                                                   [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{y}} \, dy = \int {(2x - 1)} \, dx[/tex]
  2. [dy Integral] Integrate [Logarithmic Integration]:                                            [tex]\displaystyle ln|y| = \int {(2x - 1)} \, dx[/tex]
  3. [dx Integral] Rewrite [Integration Property - Addition/Subtraction]:              [tex]\displaystyle ln|y| = \int {2x} \, dx - \int {} \, dx[/tex]
  4. [1st dx Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:          [tex]\displaystyle ln|y| = 2\int {x} \, dx - \int {} \, dx[/tex]
  5. [dx Integrals] Integrate [Integration Rule - Reverse Power Rule]:                 [tex]\displaystyle ln|y| = 2(\frac{x^2}{2}) - x + C[/tex]
  6. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle ln|y| = x^2 - x + C[/tex]
  7. [Equality Property] e both sides:                                                                     [tex]\displaystyle e^\bigg{ln|y|} = e^\bigg{x^2 - x + C}[/tex]
  8. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle |y| = Ce^\bigg{x^2 - x}[/tex]
  9. Rewrite:                                                                                                             [tex]\displaystyle y = \pm Ce^\bigg{x^2 - x}[/tex]

General Solution:  [tex]\displaystyle y = \pm Ce^\bigg{x^2 - x}[/tex]

Step 4: Find Particular Solution

  1. Substitute in function values [General Solution]:                                           [tex]\displaystyle e = \pm Ce^\bigg{1^2 - 1}[/tex]
  2. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle e = \pm C[/tex]
  3. Rewrite:                                                                                                             [tex]\displaystyle C = e[/tex]
  4. Substitute in C [General Solution]:                                                                  [tex]\displaystyle y = e \bigg( e^\bigg{x^2 - x} \bigg)[/tex]
  5. Simplify [Exponential Rule - Multiplying]:                                                        [tex]\displaystyle y = e^\bigg{x^2 - x + 1}[/tex]

Particular Solution:  [tex]\displaystyle y = e^\bigg{x^2 - x + 1}[/tex]

Step 5: Solve

  1. Substitute in x [Particular Solution]:                                                                [tex]\displaystyle y(2) = e^\bigg{2^2 - 2 + 1}[/tex]
  2. Simplify:                                                                                                             [tex]\displaystyle y(2) = e^3[/tex]

∴ our final answer is  [tex]\displaystyle y(2) = e^3[/tex].

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Differentials and Slope Fields

Book: College Calculus 10e

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