Respuesta :
Answer:
El ancho del rectángulo es [tex] \\ a = 24[/tex]cm y el largo es igual a [tex] \\ l = 30[/tex]cm.
Step-by-step explanation:
El área de un rectángulo es el producto de su ancho (a) por su largo (l), lo que podemos escribir matemáticamente de la siguiente manera:
[tex] \\ A_{rectangulo} = a * l[/tex] [1]
De la pregunta tenemos que "el largo del rectángulo excede en 6 unidades al ancho", lo que podríamos escribir de la siguiente forma:
[tex] \\ l = a + 6[/tex]
De esta manera, sustituyendo este resultado para [tex] \\ l[/tex] en la equación [1], tenemos:
[tex] \\ A_{rectangulo} = a * (a + 6)[/tex][2]
[tex] \\ A_{rectangulo} = a^{2} + 6a[/tex]
Ya sabemos que el área es igual a [tex] \\ 720\;cm^{2}[/tex].
Entonces, tenemos:
[tex] \\ A_{rectangulo} = a^{2} + 6a = 720[/tex]
Restando 720 en ambos miembros de la ecuación:
[tex] \\ A_{rectangulo} = a^{2} + 6a - 720 = 720 - 720[/tex]
[tex] \\ A_{rectangulo} = a^{2} + 6a - 720 = 0[/tex]
El resultado de lo anterior es una ecuación de segundo grado. Su expresión general, es de la forma:
[tex] \\ ax^{2} + bx + c = 0[/tex] [3]
Las soluciones (que son dos) de esta ecuación están dadas por la siguiente fórmula:
[tex] \\ x_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}[/tex] [4]
De esta manera, considerando la expresión general [3] y la siguiente ecuación:
[tex] \\ A_{rectangulo} = a^{2} + 6a - 720 = 0[/tex]
Tenemos que los valores de los coeficientes de la ecuación anterior son:
a = 1; b = 6 y c = -720
Así, resolviendo esta ecuación usando la fórmula [4], encontraríamos el valor apropiado para determinar a, o el ancho del rectángulo (no confundir con el coeficiente a de la fórmula general de la ecuación cuadrática).
Usando entonces la mencionada fórmula [4] para hallar el valor del ancho, a, del rectángulo tenemos:
[tex] \\ a_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}[/tex]
[tex] \\ a_{1, 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} - 4*1*(-720)}}{2*1}[/tex]
[tex] \\ a_{1, 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 2880}}{2}[/tex]
[tex] \\ a_{1, 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{2916}}{2}[/tex]
[tex] \\ a_{1, 2} = \frac{-6 \pm 54}{2}[/tex]
Entonces, las dos soluciones serían:
[tex] \\ a_{1} = \frac{-6 + 54}{2}[/tex]
[tex] \\ a_{2} = \frac{-6 - 54}{2}[/tex]
De esta manera:
[tex] \\ a_{1} = \frac{48}{2}[/tex]
[tex] \\ a_{1} = 24[/tex]
[tex] \\ a_{2} = \frac{-60}{2}[/tex]
[tex] \\ a_{2} = -30[/tex]
Como podemos observar, el valor de la segunda solución (un valor negativo, -30) no tiene sentido para el ancho de un rectángulo en estas condiciones (hablando de geometría euclidiana, al menos). Por lo tanto, la solución 1, [tex] \\ a_{1} = 24[/tex], es la que corresponde como solución en estas condiciones para el ancho del rectángulo en cuestión.
Entonces, el rectángulo tiene un ancho igual a 24cm ( [tex] \\ a_{1} = 24[/tex]cm) y el largo es igual a:
[tex] \\ l = a + 6[/tex]
[tex] \\ l = 24 + 6 = 30[/tex]cm
De esta manera, el ancho del rectángulo es [tex] \\ a = 24[/tex]cm y el largo es igual a [tex] \\ l = 30[/tex]cm.
Para comprobar que el ancho y el largo del rectángulo es igual a [tex] \\ 720\;cm^{2}[/tex], verificamos que:
[tex] \\ a * l = 24\;cm * 30\;cm = 720\;cm^{2}[/tex]
