contestada

Exercise is mixed —some require integration by parts, while others can be integrated by using techniques discussed in the chapter on Integration.
∫x^2√x+4 dx.

Respuesta :

Space

Answer:

[tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \frac{2(x + 4)^\Big{\frac{3}{2}}(15x^2 - 48x + 128)}{105} + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Basic Power Rule:

  1. f(x) = cxⁿ
  2. f’(x) = c·nxⁿ⁻¹

Integration

  • Integrals
  • [Indefinite Integrals] Integration Constant C

Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                                               [tex]\displaystyle \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C[/tex]

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

Integration Property [Addition/Subtraction]:                                                       [tex]\displaystyle \int {[f(x) \pm g(x)]} \, dx = \int {f(x)} \, dx \pm \int {g(x)} \, dx[/tex]

U-Substitution

  • U-Solve

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

Identify variables for u-solve.

  1. Set u:                                                                                                             [tex]\displaystyle u = x + 4[/tex]
  2. [u] Rewrite:                                                                                                     [tex]\displaystyle x = u - 4[/tex]
  3. [u] Manipulate:                                                                                               [tex]\displaystyle x^2 = (u - 4)^2[/tex]
  4. [u] Basic Power Rule:                                                                                     [tex]\displaystyle du = dx[/tex]

Step 3: Integrate Pt. 2

  1. [Integral] U-Solve:                                                                                         [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \int {(u - 4)^2\sqrt{u}} \, dx[/tex]
  2. [Integrand] Rewrite:                                                                                       [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \int {u^\Big{\frac{5}{2}} - 8u^\Big{\frac{3}{2}} + 16u^\Big{\frac{1}{2}}} \, dx[/tex]
  3. [Integral] Rewrite [Integration Property - Addition/Subtraction]:               [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \int {u^\Big{\frac{5}{2}}} \, dx - \int {8u^\Big{\frac{3}{2}}} \, dx + \int {16u^\Big{\frac{1}{2}}} \, dx[/tex]
  4. [Integrals] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:               [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \int {u^\Big{\frac{5}{2}}} \, dx - 8 \int {u^\Big{\frac{3}{2}}} \, dx + 16 \int {u^\Big{\frac{1}{2}}} \, dx[/tex]
  5. [Integrals] Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                     [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \frac{2u^\Big{\frac{7}{2}}}{7} - 8 \Bigg( \frac{2u^\Big{\frac{5}{2}}}{5} \Bigg) + 16 \Bigg( \frac{2u^\Big{\frac{3}{2}}}{3} \Bigg) + C[/tex]
  6. Simplify:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \frac{2u^\Big{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{16u^\Big{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{32u^\Big{\frac{3}{2}}}{3} + C[/tex]
  7. [u] Back-Substitute:                                                                                       [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \frac{2(x + 4)^\Big{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{16(x + 4)^\Big{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{32(x + 4)^\Big{\frac{3}{2}}}{3} + C[/tex]
  8. Rewrite:                                                                                                         [tex]\displaystyle \int {x^2\sqrt{x + 4}} \, dx = \frac{2(x + 4)^\Big{\frac{3}{2}}(15x^2 - 48x + 128)}{105} + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

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