Respuesta :

Answer:

[tex]I= \frac{x^2}{2}lnx- \frac{x^2}{4}+c[/tex]

Step-by-step explanation:

We have given expression [tex]\int xln xdx[/tex]

Now integrating by part

[tex]I=lnx\int x-\int \frac{d}{dx}lnx\int x[/tex]

[tex]I=lnx\times \frac{x^2}{2}-\int \frac{1}{x}\times \frac{x^2}{2}[/tex]

[tex]I=lnx\times \frac{x^2}{2}-\int \frac{x}{2}[/tex]

[tex]I= \frac{x^2}{2}lnx- \frac{x^2}{4}+c[/tex]

So integral of the expression will be [tex]\frac{x^2}{2}lnx- \frac{x^2}{4}+c[/tex]

Space

Answer:

[tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg( \ln(x) - \frac{1}{2} \bigg) + C[/tex]

General Formulas and Concepts:

Calculus

Differentiation

  • Derivatives
  • Derivative Notation

Integration

  • Integrals
  • [Indefinite Integrals] Integration Constant C

Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                                               [tex]\displaystyle \int {x^n} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C[/tex]

Integration Property [Multiplied Constant]:                                                         [tex]\displaystyle \int {cf(x)} \, dx = c \int {f(x)} \, dx[/tex]

Integration by Parts:                                                                                               [tex]\displaystyle \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du[/tex]

  • [IBP] LIPET: Logs, inverses, Polynomials, Exponentials, Trig

Step-by-step explanation:

Step 1: Define

Identify

[tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx[/tex]

Step 2: Integrate Pt. 1

Identify variables for integration by parts using LIPET.

  1. Set u:                                                                                                              [tex]\displaystyle u = \ln x[/tex]
  2. [u] Logarithmic Differentiation:                                                                     [tex]\displaystyle du = \frac{1}{x} \ dx[/tex]
  3. Set dv:                                                                                                           [tex]\displaystyle dv = x \ dx[/tex]
  4. [dv] Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                               [tex]\displaystyle v = \frac{x^2}{2}[/tex]

Step 3: Integrate Pt. 2

  1. [Integral] Integration by Parts:                                                                       [tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \int {\frac{x}{2}} \, dx[/tex]
  2. [Integral] Rewrite [Integration Property - Multiplied Constant]:                 [tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{1}{2} \int {x} \, dx[/tex]
  3. [Integral] Integration Rule [Reverse Power Rule]:                                       [tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C[/tex]
  4. Factor:                                                                                                           [tex]\displaystyle \int {x \ln x} \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg( \ln(x) - \frac{1}{2} \bigg) + C[/tex]

Topic: AP Calculus AB/BC (Calculus I/I + II)

Unit: Integration

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